求大佬解一道几何竞赛题【数学吧】

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求大佬解一道几何竞赛题

设 AD、BE 和 CF 是三角形 ABC 的内平分线、其中 D 位于 BC 上，E 位于 CA 上，F 位于 AB 上。此外，设 O 为 ABC 的内切圆的圆心。
证明如果S(ΔOBD) + S(ΔOCE) + S(ΔOAF) =1/2S(ΔABC); (S是三角形面积)成立，那么 ABC 是等腰三角形。

送TA礼物

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1楼2024-05-20 15:48回复

挽尊自顶

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2楼2024-05-20 16:58

求助，大佬帮忙

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来自iPhone客户端3楼2024-05-20 18:56

设三边长为a,b,c;角平分线的性质可以有以下等式
c/b=BD/CD =>BD=ac/(b+c);CD=ab/(b+c)
a/b=BF/FA =>BF=ac/(a+b);AF=bc/(a+b);
a/c=CE/AE =>CE =ab/(a+c);AE=bc/(a+c);
题目的面积等式可以得出
BD+CE+AF=CD+AE+BF
ac/(b+c)+ab/(a+c)+bc/(a+b)=ab/(b+c)+bc/(a+c)+ac/(a+b)=>
ac(a+b)(a+c)+ab(b+c)(a+b)+bc(b+c)(a+c)=ab(a+b)(a+c)+bc(b+c)(a+b)+ac(a+c)(b+c)=>
ac(a^2+ab+ac+bc)+ab(b^2+ac+bc+ab)+bc(c^2+ac+bc+ab)=ab(a^2+ab+ac+bc)+bc(b^2+ac+bc+ab)+ac(c^2+ac+bc+ab)
令ac+bc+ab=t
t^2+ca^3+ab^3+bc^3=t^2+ba^3+cb^3+ac^3
ca^3+ab^3+bc^3=ba^3+cb^3+ac^3=>
(c-b)a^3+a(b^3-c^3)+bc(c^2-b^2)=0=>
(c-b)(a^3-b^3)+b^3(c-b)+(a-b)(b^3-c^3)+b(b^3-c^3)+bc(c^2-b^2)=0=>
(c-b)(a-b)(a^2+b^2+ab)+(a-b)(b-c)(b^2+c^2+bc)=0=>
(a-b)(b-c)(b^2+c^2+bc-(a^2+b^2+ab))=0=>
(a-b)(b-c)(c^2-a^2+bc-ab)=0=>
(a-b)(b-c)(c-a)(c+a+b)=0
由于a,b,c都>0,c+a+b>0
所有a=b或者b=c或者c=a，即为等腰三角形

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4楼2024-05-20 19:34

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